이번 포스팅에서는 Exponential Dispersion Family에 대해서 공부한 내용이다. 여기서 다루는 내용은 다음과 같다.
1. Exponential Dispersion Family의 정의
2. Exponential Dispersion Family의 예
1. Exponetial Dispersion Family의 정의
Exponential Dispersion Family는 모수적 확률분포(Parametric Probability Distribution)의 모임으로써 확률밀도함수가 다음과 같은 형태를 취한다.
f(y;θ,ϕ)=exp{[yθ−b(θ)]/a(ϕ)+c(y,ϕ)}
여기서 θ는 natural parameter, ϕ는 dispersion parameter라고 한다. 만약 a(ϕ)=1, c(y,ϕ)=c(y) 라면 Exponential Dispersion Family는 우리가 잘 알고 있는 Exponential Family이다. 즉, Exponential Dispersion Family는 Exponentail Family에서 dispersion parameter가 추가된, 다시 말하면 확장된 버전인 것이다.
2. Exponential Dispersion Family의 예
1. 포아송분포(Poisson distribution)
확률변수 Y가 평균이 μ인 포아송분포를 따른다고 하자. 그렇다면 Y의 확률밀도함수는 다음과 같다.
f(y;μ)=e−μμyy!=exp[ylogμ−μ−log(y!)]=exp[yθ−exp(θ)−log(y!)],y=0,1,2,⋯,
여기서 θ=logμ,b(θ)=exp(θ),a(ϕ)=1,c(y,ϕ)=−log(y!) 라고 한다면 (1)과 같이 표현할 수 있으므로 포아송분포는 Exponential Dispersion Family이다.
2. 정규분포(Normal distribution)
확률변수 Y가 평균이 μ, 분산이 σ2인 정규분포 N(0,σ2)를 따른다고 하자. 그러면 Y의 확률밀도함수는 다음과 같다.
f(y;μ,σ2)=1√2πσexp[−(y−μ)22σ2]=exp[yμ−12μ2σ2−12log(2πσ2)−y22σ2]
여기서 θ=μ,b(θ)=12θ2,a(ϕ)=σ2,c(y,ϕ)=−12log(2πσ2)−y22σ2 라고 한다면 (1)과 같이 표현할 수 있으므로 정규분포는 Exponential Dispersion Family이다.
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