Producer Incentives in Cost Allocation

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이번 포스팅에서는 Young의 1985년 논문 'Producer Incentives in Cost Allocation'을 읽고 정리해보았다.

 

- 목차 -

1. Introduction

2. Cost Allocation, Marginal Cost Pricing and Ramsey Pricing

3. Monotonicity and Aumann-Shapley Prices

4. Other Characterizations of Aumann-Shapley Prices

5. Conclusion

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   1. Introduction

생산품마다 생산하는 가치가 다른 상황에서 총생산품의 원가를 각 생산품 별로 어떻게 배분하는 것이 좋을까?

 

이러한 배당 문제는 공공기관에게 직면한 문제로 잘알려져있다. 이론적으로 한계 비용 책정(Marginal Cost Pricing : MCP)가 경제적 효율성과 일치하는 유일한 가격 책정 메커니즘이라고 한다. 하지만 MCP의 총합은 토탈 비용과 일치하지 않으므로 배당 문제에 대해서는 잘 작동하지 않는다.

 

이 논문은 효율적인 생산 기술 채용을 위한 다양한 원가 회계 방법의 인센티브에 집중한다. 합리적인 배당 방법은 회사에 이익에 기여한 사람에겐 보상을 주고 손해를 끼친 인간에게는 벌을 줘야 할 것이다. 

 

사실 무슨말인지 잘 모르겠으나 개별 플레이어가 서로 다른 공헌을 한 것에 대해서 합리적으로 보상을 배분하는 과정을 얘기하는 것 같았다. 다시 말해 합리적인 배분 과정을 소개하는 논문인 것 같다.

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   2. Cost Allocation, Marginal Cost Pricing and Ramsey Pricing

먼저 $i=1, \ldots, n$을 $n$개의 제품이라고 하자. 그리고 $f(x)$를 총 생산 원가이며 $x=(x_1, \ldots, x_n)$이고 $x_i \geq 0$은 생산 단위이다. $\tilde{x}_i>0$에 대하여 $f$가 $0\leq x \leq \tilde{x}$에서 정의된 함수라 할 때 $(f, \tilde{x})$은 비용 배분(원가 배분) 문제를 정의한다. 이때 $f$는 $f(0)=0$이고 연속인 1차 편미분을 갖는다고 가정한다. 

 

이때 원가 배분 방법 $\varphi$는 $(f, \tilde{x})$와 단위 생산 비용 벡터를 연결시키는 함수이다.

$$\varphi (f, \tilde{x}) = (c_1, \ldots, c_n)\\ \sum_{i=1}^n\tilde{x}_i\varphi_i(f, \tilde{x}) = f(\tilde{x}) \tag{1}$$

 

MCP로 가장 먼저 생각해볼 수 있는 것은 $\varphi_i(f, \tilde{x}) = \partial f(\tilde{x})/\partial x_i$일 것이다. 하지만 이 방법은 (1)을 만족하지 않는다. 따라서 (1)을 만족하도록 다음과 같이 바꿀 수 있다.

$$\varphi_i(f, \tilde{x}) = \frac{\partial f(\tilde{x}) / \partial x_i}{\sum_{j=1}^n\tilde{x}_j\partial f(\tilde{x})/\partial x_j } f(\tilde{x})\tag{2}$$

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   3. Monotonicity and Aumann-Shapley Prices

(2)의 배분 방법은 Monotonicity를 만족하지 못한다. 예를 들어 다음의 두 원가 함수를 살펴보자.

$$f(x) = 14x_1+x_2+x_3+(x_1+x+2+x_3)^2, g(x) = 14x_1+x_2+x_3+(x_2+x_3)^2$$

음이 아닌 실수 $x_i$에 대해서 확실히 $g$의 원가 함수가 $f$보다 더 작으므로 원가 절감 차원에서는 $g$가 유리하며 또한 $x_1$이 원가 절감에 유리하게 작용했다. 이때 $x_1$에 대하여 (2)를 계산해보면

$$\varphi_1(f, \tilde{x}) = \frac{[14+2(\tilde{x}_1+\tilde{x}_2+\tilde{x}_3)]f(\tilde{x})}{14\tilde{x}_1+\tilde{x}_2+\tilde{x}_3+2(\tilde{x}_1+\tilde{x}_2+\tilde{x}_3)^2} \\ \varphi_1(g, \tilde{x}) = \frac{[14+2(\tilde{x}_2+\tilde{x}_3)]f(\tilde{x})}{14\tilde{x}_1+\tilde{x}_2+\tilde{x}_3+2(\tilde{x}_2+\tilde{x}_3)^2}$$

이때 $\tilde{x}_1=\tilde{x}_2=\tilde{x}_3=1$에서 위의 값을 계산해보면 $\varphi_1(f, 1) = 14.7 < 15 =\varphi_1(g, 1)$ 이고 총 원가 절감 차원이 차원이 $x_1$ 원가 절감 차원에서는 불리하게 작용한 셈이다.

 

그래서 이러한 모순을 피할 수 있는 원가 배분 정책이 있을까? 이에 대한 답을 하기 위해서 단조성(Monotonicity)와 대칭성(Symmetry)를 정의한다.

 

원가 배분 과정이 다음을 만족할 때 단조성이 있다고 한다.

$$\frac{\partial f }{\partial x_i}(x) \leq \frac{\partial g}{\partial x_i}(x) \;\;\forall x \in D(\tilde{x}) \\ \Rightarrow \varphi_i(f, \tilde{x}) \leq \varphi_i(g, \tilde{x}) \;\;\forall (f, \tilde{x}), (g, \tilde{x}) $$

여기서 $D(\tilde{x}) = \{ x\in \mathbb{R}^n | 0\leq x \leq \tilde{x} \}$이다.

 

또한 원가 배분 과정이 다음을 만족할 때 대칭성이 있다고 한다.

$$\frac{\partial f }{\partial x_i}(x) \leq \frac{\partial g}{\partial x_j}(x) \;\;\forall x \in D(\tilde{x}) \\ \Rightarrow \varphi_i(f, \tilde{x}) \leq \varphi_j(g, \tilde{x}) \;\;\forall (f, \tilde{x}), (g, \tilde{x}), i, j $$

 

이제 앞에서 제기한 질문에 대한 답을 할 차례가 왔다. 대답은 Aumann-Shapley Price Mechanism(ASPM)이라는 것이다. 이를 증명하는 것이 다음 정리이다.

 

정리 1

대칭이면서 단조성을 갖는 유일한 원가 배분 과정(Cost Allocation Process : CAP)이 존재하고 그것은 바로 Aumann-Shapley Price Mechanism 이다.

$$\varphi_i^{AS}(f, \tilde{x}) = \int_0^1 \left (\frac{\partial f}{\partial x_i}(t\tilde{x})dt \right )$$

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   4. Other Characterizations of Aumann-Shapley Prices

CAP가 다음을 만족할 때 가산성(Additivity)을 만족한다고 한다.

$$\varphi(f' +f'', \tilde{x}) = \varphi(f', \tilde{x})+\varphi(f'', \tilde{x})$$

 

ASPM은 가산성을 만족한다.

 

CAP가 다음을 만족할 때 집계 불변(Aggregation Invariant)하다고 한다.

$$\varphi(f, \tilde{x}) = \varphi(g, A\tilde{x})A \;\;\text{whenever } \;A \;\;\text{is a nonnegative matrix such that} \;\;A\tilde{x}=\tilde{y}>0 \\ f(x) = g(Ax) \;\;\text{for all } 0\leq x \leq \tilde{x}, 0\leq y\tilde{y} $$

 

정리 2

ASPM은 유일한 집계 불변 단조 CAP이다.

 

즉, CAP 중에서 집계 불변성과 단조성을 만족한다면 그 CAP는 ASPM이다.

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   5. Conclusion

이 논문은 ASPM이 상당한 경제적인 의미를 갖는 성질로 특성 할 수 있다는 것을 보여준다. 이 논문은 끝으로 ASPM은 근면함에는 벌을 주지 않고 게으름에는 보상을 주지 않는 유일한 방법이라는 말을 했다.

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